直线的方程
限于篇幅原因，笔者将不再详细介绍 用方程表示曲线 的定义，只做一句话的概括：
在平面上，曲线 Γ\GammaΓ 可视作点集 SSS．一个只含有 xxx，yyy 两个未知元的方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 的解集为 TTT．注意到 SSS 与 TTT 均能刻画为 二元有序数对 的集合（SSS 中元素刻画为点的坐标形态，TTT 中元素将解 {x=x0y=y0\bcs x = x_0 \\ y = y_0 \ecs{x=x0y=y0 刻画为 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)），当 S=TS = TS=T 时，我们称 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 为曲线 Γ\GammaΓ 的方程．
直线方程的形式
竖直线和水平线为了更简洁地描述，本文定义 竖直线 和 水平线 两个概念．
竖直线 指平行于 yyy 轴的直线．如果已知竖直线 lll 经过点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0)，我们可以断言 lll 的方程是 x=x0x = x_0x=x0．
水平线 指平行于 xxx 轴的直线．如果水平线 lll 经过点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0)，可以断言 lll 的方程是 y=y0y = y_0y=y0．
点斜式
一个点和一个方向确定一条直线．如果已知直线 lll 经过点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0)，且其斜率为 kkk，lll 就确定下来了．事实上，lll 的方程可以表示为
y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)y−y0=k(x−x0)
这个方程由直线上一点以及该直线斜率确定，我们称它为直线的 点斜式方程，简称 点斜式．
斜率不存在 的直线 无法用斜截式表示．这一点在列斜率为参数的直线方程时需注意．
举例设直线 lll 是一条经过定点 (3,5)(3, 5)(3,5) 的直线，直接设成 y−5=k(x−3)y - 5 = k(x - 3)y−5=k(x−3) 的带参（kkk）方程是有缺陷的，因为当 lll 的倾斜角 α=π2\alpha = \dfrac \pi 2α=2π 时，斜率 kkk 不存在，点斜式不能表示 lll，也不会有任何一个 kkk 满足导出的方程对应 lll．
解决办法就是分类讨论．
当 lll 的斜率存在时，可以将它设为 y−5=k(x−3)y - 5 = k(x - 3)y−5=k(x−3) 的带参方程；而如果 lll 的斜率不存在时，它就是一条经过 (3,5)(3, 5)(3,5) 的竖直线，即 x=3x = 3x=3．
直线的截距
对于直线 lll，
与 xxx 轴的交点的 横坐标 称作 lll 的 横截距．
与 yyy 轴的交点的 纵坐标 称作 lll 的 纵截距．
如果 lll 和某个坐标轴 平行 或 重合，则该坐标轴对应的截距不存在．
注意：截距的本质是横坐标或者纵坐标，是 可正可负可零 的，取值范围为 全体实数．
斜截式
直线的斜截式是点斜式中，定点位于 yyy 轴上 的特殊情形．
若斜率为 kkk 的直线 lll 过点 P0(0,b)P_0(0, b)P0(0,b)，其有点斜式方程
y−b=k(x−0)y - b = k(x - 0)y−b=k(x−0)
可以整理为
y=kx+by = kx + by=kx+b
很明显，bbb 就是直线的纵截距．因此 y=kx+by = kx + by=kx+b 这个形式称作直线的 斜截式方程（斜率-截距式），简称 斜截式．
与点斜式相同，斜率不存在 的直线 无法用斜截式表示．
两点式
如果已知直线 lll 经过不重合的两点 P1(x1,y1)P_1(x_1, y_1)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)P_2(x_2, y_2)P2(x2,y2)，且 x1≠x2x_1 \ne x_2x1=x2，y1≠y2y_1 \ne y_2y1=y2．则 lll 的方程为
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}y2−y1y−y1=x2−x1x−x1
这个方程由直线 lll 经过的两点确定．称作 两点式方程，简称 两点式．
这个方程形式复杂，并且限制较多：它要求 lll 既不能是横线，也不能是竖线，因此解题时基本无用，可以忽略．
给定直线上两点求直线方程的情形中，可以直接根据两点算出斜率，然后选择任意一点和斜率列出点斜式方程，这样比两点式要简单．
截距式
截距式 是 两点式 的 P1P_1P1，P2P_2P2 分别在 xxx 轴，yyy 轴上的情形．
设 P1(a,0)P_1(a, 0)P1(a,0)，P2(0,b)P_2(0, b)P2(0,b)，要求 a≠0a \ne 0a=0 且 b≠0b \ne 0b=0（这个要求和两点式的 x1≠x2x_1 \ne x_2x1=x2 且 y1≠y2y_1 \ne y_2y1=y2 相吻合）．
根据两点式有
y−0b−0=x−a0−a\dfrac{y - 0}{b - 0} = \dfrac{x - a}{0 - a}b−0y−0=0−ax−a
整理可得
xa+yb=1\dfrac x a + \dfrac y b = 1ax+by=1
该方程由直线 lll 的纵截距和横截距确定，因此称为 截距式方程，简称 截距式．
虽然两点式没用，但其特殊情形截距式形式简洁，在适当的场合下使用，可以极大地简化计算过程．因此，截距式建议读者掌握．
截距式 能且只能 表示同时满足以下两个要求的直线：
必须同时有纵截距和横截距，即 不能为水平线或竖直线．
纵截距和横截距必须均不为 000，即 直线不能经过原点．
用含参截距式表示直线时，上面两种截距式不能表示的直线可能需要提前分类讨论．
一般式
平面直角坐标系中的直线和二元一次方程有非常良好的对应关系．下引出两个命题并证明．
命题一平面直角坐标系中任意一条直线都能用一个二元一次方程表示．
命题一证明考虑任意直线 lll．
如果 lll 的斜率存在且为 kkk，可以在 lll 上任取一点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0(x0,y0)，列出点斜式 y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)y−y0=k(x−x0)．显然这是一个二元一次方程．
如果 lll 的斜率不存在，则 lll 为竖直线，此时 lll 可以用方程 x=x0x = x_0x=x0 表示．这可以看作一个关于 xxx，yyy 的二元一次方程，只是 yyy 的系数为 000．
命题二任意一个二元一次方程表示的都是一条直线．
命题二证明证明：考虑任意二元一次方程 Ax+By+C=0Ax +By +C = 0Ax+By+C=0（钦定 AAA 和 BBB 不同时为 000，我们认为不含未知数的等式不是方程）．
当 B≠0B \ne 0B=0 时，原方程可变形为 y=−ABx−CBy = - \dfrac A B x - \dfrac C By=−BAx−BC．这是斜截式，表示的是直线．
当 B=0B = 0B=0 时，一定有 A≠0A \ne 0A=0．此时有 x=−CAx = - \dfrac C Ax=−AC，表示一条竖直线，显然也是直线．
根据上面两个命题，我们可以发现：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示；任意一个二元一次方程在平面直角坐标系中表示一条直线．
我们称 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0（AAA，BBB 不同时为 000）叫做直线的 一般式方程，简称 一般式．
一般式是五种方程中唯一能表示所有直线的一种形式．
横截式
提示横截式不是课本内容，但在以后的圆锥曲线大题中会有用处，且 可以在大题中直接使用．
设直线 lll 过定点 P0(a,0)P_0(a, 0)P0(a,0)．lll 可以表示为
x=my+ax = my + ax=my+a
很明显，无论 mmm 取值如何，(a,0)(a, 0)(a,0) 始终是这个方程的一个解，即直线过 (a,0)(a, 0)(a,0)．
当 m=0m = 0m=0 时，上述方程表示 x=ax = ax=a，为 竖直线．
当 m≠0m \ne 0m=0 时，有 y=1mx+amy = \df 1 m x + \df a my=m1x+ma，可知斜率为 1m\df 1 mm1．因此，对于斜率为 k≠0\* k \ne 0k=0 的任意直线，m=1km = \df 1 km=k1 时即能表示目标直线．
斜率 k=0k = 0k=0 的直线 无法用横截式表示，需要在水平线处分类讨论．
直线的法向量
和平面的法向量含义类似，我们定义 直线的法向量 是 和直线的任一方向向量垂直的非零向量．
同一平面内，直线的法向量不唯一，是 一组无数个互相平行的向量（注意立体几何不一定）．
很明显，法向量也能作为量化直线方向的工具之一，因为一组相互平行的法向量和一组相互平行的方向向量对应，从而和直线的方向一一对应．
命题直线 Ax+By+C=0Ax +By + C = 0Ax+By+C=0 的一个法向量为 (A,B)(A, B)(A,B)．
证明考虑在直线上任取不同的两点 P1(x1,y1)P_1(x_1, y_1)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)P_2(x_2, y_2)P2(x2,y2)，有 Ax1+By1+C=0Ax_1 +By_1 +C = 0Ax1+By1+C=0 和 Ax2+By2+C=0Ax_2 +By_2 + C = 0Ax2+By2+C=0．
将两式相减可得 A(x1−x2)+B(y1−y2)=0A(x_1 - x_2) + B(y_1 - y_2) = 0A(x1−x2)+B(y1−y2)=0．这证明 (x1−x2,y1−y2)⊥(A,B)(x_1 - x_2, y_1 - y_2) \perp (A, B)(x1−x2,y1−y2)⊥(A,B)．而前者为直线的一个方向向量，所以后者为直线的一个法向量．
综上我们可以根据一个方程的一般式直接写出它的法向量．如 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 02x−3y+6=0 的法向量是 (2,−3)(2, -3)(2,−3)．
在向量中，我们学习过迅速写出一个向量的一个垂直向量的技巧：坐标的两维互换，再将其中一维的坐标取反．据此，我们可以根据一条直线的法向量迅速写出它的方向向量，如上述直线的方向向量是 (3,2)(3, 2)(3,2)，再根据三种量化方向工具的转化关系，得知 k=tanα=23k = \tan \alpha = \dfrac 2 3k=tanα=32．
根据法向量和方向向量的关系，我们能得出法向量和两直线位置关系的关系：法向量平行且两直线不重合时，两直线平行；法向量不平行时，两直线不平行；法向量垂直时，两直线垂直．
「法向量」这个名词 不推荐在大题中使用．
直线的点法式
点法式的内容：过定点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0)，法向量为 (A,B)(A, B)(A,B) 的直线，方程可以表示为
Ax+By=Ax0+By0Ax + By = Ax_0 + By_0Ax+By=Ax0+By0
原因很简单，这个方程法向量为 (A,B)(A, B)(A,B) 并且 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 满足这个方程，所以这个方程表达的就是我们想要的直线．
点法式的大题书写策略因为直线过 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0)，且方向向量垂直于 (A,B)(A, B)(A,B)，
设直线上任意一点 Q(x,y)Q(x, y)Q(x,y)，有 PQ→⊥(A,B)\overrightarrow{PQ} \perp (A, B)PQ⊥(A,B)，即
A(x−x0)+B(y−y0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0A(x−x0)+B(y−y0)=0得到直线方程（不难看出其与点法式等价）．
直线的参数方程
设过 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 的直线 lll 倾斜角为 θ\thetaθ，含参数 ttt 的方程组
{x=x0+tcosθy=y0+tsinθ\bcs
x = x_0 + t\cos \theta \\
y = y_0 + t \sin \theta
\ecs{x=x0+tcosθy=y0+tsinθ
满足两个条件：
lll 上任意一点 P(x,y)P(x, y)P(x,y)，代入方程中的 xxx 与 yyy 后，均能解出一个 ttt．
任意 t∈Rt \in \Rt∈R 代入方程，解得的 xxx 与 yyy 对应的 (x,y)(x, y)(x,y) 均为 lll 上的点．
因此这个方程组同样建立了 直线上的点 与 方程的解 的一一映射，只不过需要一个参数的帮助．我们称这种方程为 参数方程，该方程为 直线的参数方程．
参数方程在大题中可以直接使用，如果不放心也可咨询老师．
这个方程还有个非常良好的性质：(x,y)(x, y)(x,y) 与 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 的距离 恰为 ∣t∣\* |t|∣t∣．因此当题目涉及 定直线上一动点 与 该直线上一定点 之间的距离时，使用直线参数方程可能有极大的简化运算的效果．
平行直线系、垂直直线系
一个二元方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 可以表示平面上的曲线，而 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 中含有参数时，参数不同，方程导出的曲线就不同，这一簇曲线就叫做 曲线系．特别地，当方程为二元一次方程时，导出的一簇曲线为 直线系．
对于已知直线 lll，设其方程为 Ax+By+C=0Ax+ By +C = 0Ax+By+C=0，对于含参数 ccc 的二元一次方程 Ax+By+c=0Ax +By + c = 0Ax+By+c=0，我们限制 ccc 的取值范围为 c≠Cc \ne Cc=C．那么这个含参方程可以表示 所有 与 lll 平行的一组直线．我们称这个含参二元一次方程为 平行直线系．
如 3x+y−4=03x + y - 4 = 03x+y−4=0 的所有平行直线可以设为 3x+y+c=03x + y + c = 03x+y+c=0，参数取值范围 c≠−4c \ne -4c=−4．
同理我们还有 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0 的 垂直直线系 Bx−Ay+c=0Bx - Ay + c = 0Bx−Ay+c=0，其中 ccc 为参数，在实数范围内任意取值．
平行直线系和垂直直线系 在大题中可以直接使用．
交点直线系
对于两条 相交直线 l1l_1l1：A1x+B1y+C1=0A_1x + B_1y + C_1 = 0A1x+B1y+C1=0 和直线 l2l_2l2：A2x+B2y+C2=0A_2x + B_2y + C_2 = 0A2x+B2y+C2=0，含有参数 λ\lambdaλ 的方程
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0A_1x + B_1 y+ C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
可以表示经过 l1l_1l1 和 l2l_2l2 的交点，且 不重合于 l2\boldsymbol{l_2}l2 的 所有 直线．
可以发现，
λ(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0\lambda(A_1 x + B_1 y + C_1) + (A_2 x +B_2 y + C_2) = 0λ(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0
也是交点直线系，这里不能表出的直线是 l1l_1l1．更普遍的说法是：交点直线系不能表示 λ\lambdaλ 括号里对应的那个直线．
可以感性理解为，λ=0\lambda = 0λ=0 时可以消除括号内直线的影响，但无论 λ\lambdaλ 等于多少都无法消除括号外的那个直线的影响．
交点直线系 似乎在大题中可以直接使用，是否允许建议咨询当地老师．
证明 先证明含参方程表示的直线都满足条件，再证明满足条件的一定能被含参方程表出．
记 L(λ)L(\lambda)L(λ) 为直线 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2 x + B_2 y + C_2) = 0A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0．
子命题一证明l1l_1l1 和 l2l_2l2 的交点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 满足方程组
{A1x0+B1y0+C1=0A2x0+B2y0+C2=0\bcs
A_1x_0 +B_1y_0 + C_1 = 0 \\
A_2x_0 + B_2y_0 + C_2 = 0
\ecs{A1x0+B1y0+C1=0A2x0+B2y0+C2=0因此，无论 λ\lambdaλ 取何值，(x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 也一定满足
A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0A_1x_0 + B_1 y_0+ C_1 + \lambda(A_2x_0 + B_2y_0 + C_2) = 0A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0这证明了无论 λ\lambdaλ 取何值，L(λ)L(\lambda)L(λ) 必经 l1l_1l1 和 l2l_2l2 的交点．
L(λ)L(\lambda)L(λ) 的法向量是 (A1+λA2,B1+λB2)(A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2)(A1+λA2,B1+λB2)．假设 L(λ)L(\lambda)L(λ) 与 l2l_2l2 重合，则
(A2,B2)∥(A1+λA2,B1+λB2) ⟹ (A1,A2)∥(B1,B2) ⟹ l1∥l2或l1=l2(A_2, B_2) \parallel (A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2) \implies (A_1, A_2) \parallel (B_1, B_2) \implies l_1 \parallel l_2 或 l_1 = l_2(A2,B2)∥(A1+λA2,B1+λB2)⟹(A1,A2)∥(B1,B2)⟹l1∥l2或l1=l2与 l1l_1l1，l2l_2l2 相交矛盾，因此 L(λ)L(\lambda)L(λ) 不与 l2l_2l2 重合．
综上，L(λ)L(\lambda)L(λ) 表示的一定是一条经 l1l_1l1 和 l2l_2l2 的交点且不与 l2l_2l2 重合的直线，证毕．
子命题二证明设 l3l_3l3 是一条经 l1l_1l1 与 l2l_2l2 的交点且不与 l2l_2l2 重合的直线，要求找到一个 λ\lambdaλ 使得 L(λ)=l3L(\lambda) = l_3L(λ)=l3．
上面已经证明 L(λ)L(\lambda)L(λ) 经过 l1l_1l1 与 l2l_2l2 的交点，因此它一定与 l3l_3l3 有交点，如果 L(λ)L(\lambda)L(λ) 的方向与 l3l_3l3 相同，就可让 L(λ)=l3L(\lambda) = l_3L(λ)=l3．
想令它们方向相同，可考虑让它们的法向量平行，令 l3l_3l3 法向量为 (m,n)(m, n)(m,n)，则
(A1+λA2,B1+λB2)∥(m,n)(A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2) \parallel (m, n)(A1+λA2,B1+λB2)∥(m,n)l3l_3l3 与 l2l_2l2 相交，因此 l3l_3l3 法向量不平行于 l2l_2l2 的法向量，即 (m,n)∦(A2,B2)(m, n) \nparallel (A_2, B_2)(m,n)∦(A2,B2)，等价于 nA2−mB2≠0nA_2 - mB_2 \ne 0nA2−mB2=0．
此时
(A1+λA2,B1+λB2)∥(m,n) ⟺ λ=mB1−nA1nA2−mB2(A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2) \parallel (m, n) \iff \lambda = \dfrac{mB_1 - nA_1}{nA_2 - mB_2}(A1+λA2,B1+λB2)∥(m,n)⟺λ=nA2−mB2mB1−nA1λ\lambdaλ 找到，得证．
另外，λ\lambdaλ 还是 唯一的，这还证明了 过定点的任一直线恰好对应一个参数（而不会对应多个）．该结论可能在计算参数取值数量时用到．
直线方程题型
首先我们要意识到一件事情：一条直线的直线方程可以随便做等价变形，而不改变它描述的直线．因此，上面五种直线式在一定条件下可以互相转化，如点斜式 y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1)y−1=2(x−1) 可以变形为一般式 −2x+y+1=0-2x + y + 1 = 0−2x+y+1=0．
鉴别直线方程
例题 2.1已知直线 lll 经过点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0)，斜率 kkk 是它的斜率，那么 y−y0x−x0=k\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = kx−x0y−y0=k 是 lll 的方程吗？
例题 2.1 解答不是．该方程表示的所有点都在 lll 上，但 lll 上存在一个点不满足这个方程：(x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)．
事实上，该方程表示的是 lll 整条直线扣去 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 后的一个分成两段的直线．
假直线方程通常具有的特点是存在一个分式，使得直线上的某个点 (x,y)(x, y)(x,y) 代入假直线方程后，能让分式的分母取到 000．这样以来这个点就不能被方程表示．
根据已知量特征写方程
我们学习了共五种直线方程，在已知量的种类不同时，选择不同的直线方程列式通常有着不同的简便程度．
如果可知直线 水平或竖直，直接令 y=y0y = y_0y=y0 或 x=x0x = x_0x=x0．
在已知直线上 一点和斜率 时，列 点斜式 最简单．
在已知直线的 两个截距 时，列 截距式 最简单．
在已知直线上两点时，先 用两点算出斜率，再列 点斜式 最简单．不需使用两点式．
例题 2.2.1用最简单的方式写出下面直线的方程：
l1l_1l1 过点 (4,−2)(4, -2)(4,−2)，且斜率为 222．
l2l_2l2 过点 (4,−2)(4, -2)(4,−2) 和点 (−1,8)(-1, 8)(−1,8)．
l3l_3l3 过点 (4,0)(4, 0)(4,0) 和 (0,8)(0, 8)(0,8)．
l4l_4l4 过点 (4,−2)(4, -2)(4,−2) 点 (4,8)(4, 8)(4,8)．
例题 2.2.1 解答直线 l1l_1l1 使用点斜式．y−(−2)=2(x−4)y - (-2) = 2(x - 4)y−(−2)=2(x−4)，整理得 y=2x−10y = 2x - 10y=2x−10．
直线 l2l_2l2 已知两点，先算斜率再点斜式．先算出斜率 8−(−2)−1−4=−2\dfrac{8 - (-2)}{-1 - 4} = -2−1−48−(−2)=−2，再任选一点列点斜式 y−(−2)=−2(x−4)y - (-2) = -2(x - 4)y−(−2)=−2(x−4)，整理得 y=−2x+6y = -2x +6y=−2x+6．
直线 l3l_3l3 已知的两点在坐标轴上，且均不与原点重合，使用截距式．x4+y8=1\dfrac x 4 + \dfrac y 8 = 14x+8y=1．
直线 l4l_4l4 已知的两点横坐标相等，不存在斜率．直接写出方程 x=4x = 4x=4．
已知信息还可能更复杂，根据下面的例题学习：
例题 2.2.2写出过点 (5,2)(5, 2)(5,2)，且在 yyy 轴上的截距是 xxx 轴上截距 222 倍的直线方程（化为一般式形式）．
我们学的方程形式中，没有直接包含【过一点】和【截距之间的倍数关系】这两个信息的方程．遇到这种情况，我们应该 根据一个信息列出一个带参的直线方程，再利用另一个信息解出参数．
这里存在两种做法：
【点斜式】
设 y−2=k(x−5)y - 2 = k(x - 5)y−2=k(x−5)，用截距倍数关系解出参数 kkk．
设参数为斜率的点斜式方程时，需注意 斜率不存在 的情况．这里有 yyy 轴上的截距，斜率一定存在，无需讨论．
【截距式】
根据 yyy 轴截距是 xxx 轴截距的 222 倍，将 xxx 轴截距设为 aaa，列带参数 aaa 的截距式 xa+y2a=1\dfrac x a + \dfrac y{2a} = 1ax+2ay=1．
设参数为截距的截距式方程时，注意提前讨论两种截距式不能表示的情况：
某个截距不存在 （水平线或竖直线）．这里显然无需讨论．
过原点的直线．此时两个截距都为 000，确实是二倍关系，需要讨论．
上面给出了两种方案，我们应预估后续的计算量，选择更简单的一种方案．
第一种方案中，需先将直线的横截距和纵截距分别用带 kkk 的式子表示出来，然后再根据它们的倍数关系列方程．
第二种方案中，只需要将 (5,2)(5, 2)(5,2) 这个点代入截距式，算出 aaa 即可．
能看出来应该是第二种更简单，所以我们用第二种方案进行解答．
例题 2.2.2 解答设所求直线为 lll，则 lll 显然存在截距．
当 lll 过原点时，即 lll 过 (0,0)(0, 0)(0,0) 和 (5,2)(5, 2)(5,2)，可得 lll 的方程为 y=25xy = \dfrac 2 5 xy=52x，化为一般式为 2x−5y=02x - 5y = 02x−5y=0．
当 lll 不过原点时，设 lll 与 xxx 轴的截距为 aaa，则 lll 可表示为 xa+y2a=1\dfrac x a + \dfrac y{2a} = 1ax+2ay=1．
因为 (5,2)(5, 2)(5,2) 在 lll 上，有 5a+22a=1\dfrac 5 a + \dfrac 2{2a} = 1a5+2a2=1，解得 a=6a = 6a=6．
即 l :x6+y12=1l \colon \df x 6 + \df y{12} = 1l:6x+12y=1，化为一般式得 2x+y−12=02x + y - 12 = 02x+y−12=0．
因此 lll 的方程为 2x−5y=02x - 5y = 02x−5y=0 或 2x+y−12=02x + y - 12 = 02x+y−12=0．
当已知直线的斜率 kkk 和其它信息时，我们可以根据其有方向向量 (1,k)(1, k)(1,k)，有法向量 (k,−1)(k, -1)(k,−1)，列出含参 mmm 的一般式 kx−y+m=0kx - y + m = 0kx−y+m=0，再利用其它信息求解 mmm．
已知信息还可以是和某条直线平行或垂直，这时利用平行直线系和垂直直线系列含参方程最简单．
法向量求解直线位置关系 / 已知直线位置关系用法向量求参数
在 量化直线方向的工具 中讲过，求解直线位置关系或已知直线位置关系求参，一般都采用统一成斜率的方式．然而在引入法向量这第四个刻画方向的工具后，有时统一成法向量会比统一成斜率简单．具体来说：
任何直线都有法向量．相比斜率可能需要判断不存在，法向量无需做这种判断．
一般式 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0 能一眼看出法向量是 (A,B)(A,B)(A,B)．
例题 2.3已知 ax+(1−a)y=3ax + (1-a)y = 3ax+(1−a)y=3 和 (a−1)x+(2a+3)y=2(a-1)x + (2a + 3)y = 2(a−1)x+(2a+3)y=2 两直线垂直，求 aaa．
例题 2.3 解答将两直线变形为一般式，分别为 ax+(1−a)y−3=0ax + (1-a)y -3 = 0ax+(1−a)y−3=0 和 (a−1)x+(2a+3)y−2=0(a - 1)x + (2a + 3)y - 2 = 0(a−1)x+(2a+3)y−2=0．
两直线法向量为 (a,1−a)(a, 1 - a)(a,1−a) 和 (a−1,2a+3)(a - 1, 2a + 3)(a−1,2a+3)．两直线垂直，等价于法向量垂直，等价于法向量数量积为 000，因此有 a(a−1)+(1−a)(2a+3)=0a(a - 1) + (1 - a)(2a + 3) = 0a(a−1)+(1−a)(2a+3)=0．解得 a=1a = 1a=1 或 a=−3a = -3a=−3．
当然，当题目给出的是斜截式，点斜式之类的形式，一般就考虑统一成斜率了，因为用斜截式和点斜式表示的直线斜率一定存在，而且直接暴露出来了．
另外，引入直线方程后，平行的验重只需判断方程是否等价．
含参直线过定点
方程恒成立角度
例题 2.4.1直线 (m−1)x+(2m−1)y=m−5(m-1)x + (2m-1)y = m - 5(m−1)x+(2m−1)y=m−5 在 mmm 取何值时，都恒过一定点，求该点坐标．
例题 2.4.1 解答设定点坐标为 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0)，则 (m−1)x0+(2m−1)y0=m−5(m - 1)x_0 + (2m - 1)y_0 = m - 5(m−1)x0+(2m−1)y0=m−5 在 mmm 取何值时都恒成立（对应 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 总是在直线上）．
将该方程变形为 (x0+2y0−1)m+(5−x0−y0)=0(x_0 + 2y_0 - 1)m + (5 - x_0 - y_0) = 0(x0+2y0−1)m+(5−x0−y0)=0．mmm 取何值该方程均恒成立，等价于 x0+2y0−1=0x_0 + 2y_0 - 1 = 0x0+2y0−1=0 且 5−x0−y0=05 - x_0 - y_0 = 05−x0−y0=0，解得 {x0=9y0=−4\begin{cases}x_0 = 9\\y_0 = -4\end{cases}{x0=9y0=−4．
所以方程恒过 (9,−4)(9, -4)(9,−4)．
方程恒成立 解决直线过定点的步骤是：
将直线方程重新看作 xxx，yyy 为参数，原先的参数 mmm 为未知元 的方程，并以 mmm 为主体整理方程．
则求解直线所过的定点，可以视作研究参数 xxx，yyy 为何值时，未知元 mmm 如何变化方程都恒成立．
使用恒成立方程的知识解答．
不是所有含参直线都过定点．如某直线的平行直线系（但砍掉参数限制） 2x+3y+m=02x + 3y +m = 02x+3y+m=0，显然它不过定点．
将它整理为 mmm 的方程 m+(2x+3y)=0m + (2x + 3y) = 0m+(2x+3y)=0，一次项系数恒为 111，做不到恒成立．
交点直线系角度
上述做法把直线方程变形为这样的形式：
(x+2y−1)m+(5−x−y)=0(x + 2y - 1)m + (5 - x - y) = 0(x+2y−1)m+(5−x−y)=0
可以视作 x+2y−1=0x + 2y - 1 = 0x+2y−1=0 和 5−x−y=05 - x - y = 05−x−y=0 的交点直线系．根据交点直线系的知识有如下结论：
原含参直线方程本质上是一个交点直线系．
含参直线所过定点是 x+2y−1=0x + 2y - 1 = 0x+2y−1=0 与 5−x−y=05 - x - y = 05−x−y=0 的交点 (9,−4)(9, -4)(9,−4)．
mmm 取遍所有实数时，含参直线能取到的范围是过交点 (9,−4)(9, -4)(9,−4) 且不与 x+2y−1=0x + 2y - 1= 0x+2y−1=0 重合的所有直线．
可以看到，运用 交点直线系，不仅证明并求出了直线所过的定点，还证明了 随着参数的变动，过定点的无数直线中，只有一条取不到．
换句话说，随着参数的变动，直线 几乎可以 绕着定点 旋转到任一直线，除了某一条直线取不到．
上面这个结论的信息量很大，方程恒成立却无法给出．因此笔者更推荐 交点直线系 的理解．
设题目中直线方程中的参数为 mmm，当直线方程不仅有 mmm 项，还有 m2m^2m2 项 时，方程应变形为 am2+bm+c=0am^2 + bm + c = 0am2+bm+c=0，其对 mmm 恒成立等价 a=0a = 0a=0 且 b=0b = 0b=0 且 c=0c = 0c=0．
由于 m2m^2m2 项的存在，这种含参方程无法拆成交点直线系，必须用方程恒成立的角度理解．
但值得强调的是，这样的情况很少见，大多数题目中的直线含参方程，其中的参数都以一次项出现．
思想重要性提示见到一个 含参直线方程，就试图将其 拆成交点直线系，分析其 所过定点 与 不能取到的直线，这套流程一定要熟悉，敏感．
读者阅读题干时，但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法．
读者阅读题干时，但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法．
读者阅读题干时，但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法．
特殊情况 1
例题 2.4.2已知点 (a,b)(a, b)(a,b) 在直线 3x+2y+1=03x + 2y +1 = 03x+2y+1=0 上，求直线 ax+by+2=0ax + by + 2 = 0ax+by+2=0 的必经点．
例题 2.4.2 解答前面条件相当于给出 3a+2b+1=03a + 2b + 1 = 03a+2b+1=0．可以考虑将条件等价为 b=−3a+12b = -\dfrac{3a + 1}{2}b=−23a+1 从而消元 bbb，只留下参数 aaa，再采用先前的做法．
但有更简单的做法：考虑题目给出的实际是 3a+2b3a + 2b3a+2b 为定值 −1-1−1，我们可以得出 6a+4b+26a + 4b + 26a+4b+2 为定值 000，进而直接得出定点为 (6,4)(6, 4)(6,4)．
特殊情况 2
当有百分之百把握所给的含参直线必过一定点时，可以采用特殊值做法．
例题 2.4.1直线 (m−1)x+(2m−1)y=m−5(m-1)x + (2m-1)y = m - 5(m−1)x+(2m−1)y=m−5 在 mmm 取何值时，都恒过一定点，求该点坐标．
例题 2.4.1 特殊值做法解答令 m=1m = 1m=1，直线为 y=−4y = -4y=−4．
令 m=12m = \dfrac 1 2m=21，直线为 −12x=−92-\dfrac{1}2x = -\dfrac 9 2−21x=−29，即 x=9x = 9x=9．
显然含参直线所过的定点应该同时在 x=9x = 9x=9 和 y=−4y = -4y=−4 上，因此有直线经过 (9,−4)(9, -4)(9,−4)．
一般分别让 mmm 取让 xxx 的系数为 000 和 yyy 的系数为 000 的两种值，使得直线分别竖直和水平，直接锁定交点．
这种做法必须保证含参直线确定过一定点．一般来说就是选填中题目直接询问直线所过定点时可以使用．
大题中使用可能有扣分风险．题目即使询问了「直线所过的定点坐标是什么？」，也不暗含「直线必须过一定点」这个条件（数学大题上的问题是被认为不暗含条件的）．
一定点和过某另一定点的含参直线距离值域
符号化表述：设一定点 PPP，一含参直线为 lll，求 PPP 到 lll 距离的值域．
不妨约定：lll 已经处理成两条定直线 l1l_1l1 和 l2l_2l2 的交点直线系的形式，设 l1l_1l1 和 l2l_2l2 的交点为 QQQ，l2l_2l2 是被参数包裹，lll 无法取到的那条直线．
先 假设 lll 可以取到 l2l_2l2，那么现在 lll 相当于一个 可以围绕点 QQQ 旋转的任意直线．设 PPP 到 lll 的距离为 ddd，则：
当且仅当 lll 旋转到 PPP 在 lll 上，即 l=PQl = PQl=PQ 时，d=0d = 0d=0．其余情况都有 d>0d > 0d>0；
当且仅当 lll 旋转到 l⊥PQl \perp PQl⊥PQ 时，d=∣PQ∣d = \lv PQ\rvd=∣PQ∣，其余情况都有 d<∣PQ∣d < \lv PQ\rvd<∣PQ∣．
对于任意的 d∈(0,∣PQ∣)d \in (0, \lv PQ\rv)d∈(0,∣PQ∣)，我们都能找到两个满足条件的 lll（考虑以 PPP 为圆心作半径为 ddd 的圆，过 QQQ 可以作圆的两条切线，都是满足条件的 lll）．
综上不难发现 ddd 的值域是 [0,∣PQ∣][0, \lv PQ\rv][0,∣PQ∣]．
但 事实上 lll 取不到 l2l_2l2．那么：
当 l2=PQl_2 = PQl2=PQ 时，lll 取不到 PQPQPQ，此时 ddd 取不到 000，ddd 的值域是 (0,∣PQ∣](0, \lv PQ\rv](0,∣PQ∣]．
当 l2⊥PQl_2 \perp PQl2⊥PQ 时，lll 取不到那个和 PQPQPQ 垂直的直线，此时 ddd 取不到 ∣PQ∣\lv PQ\rv∣PQ∣，值域是 [0,∣PQ∣)[0, \lv PQ\rv)[0,∣PQ∣)．
其它情况下，由于任意 d∈(0,∣PQ∣)d \in (0, \lv PQ\rv)d∈(0,∣PQ∣) 都能找到两个满足条件的 lll，即使有一条被禁用，另一条还能使用，因此 ddd 的值域仍为 [0,∣PQ∣][0, \lv PQ\rv][0,∣PQ∣]．
例题 2.5.1求点 P(−2,0)P(-2, 0)P(−2,0) 到直线 lll：(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0(1 + 3\lambda)x + (1 + 2\lambda)y - (2 + 5\lambda) = 0(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0 的距离最大值．
例题 2.5.1 解答直线 lll 方程变形为 λ(3x+2y−5)+(x+y−2)=0\lambda(3x + 2y - 5) + (x+ y - 2) = 0λ(3x+2y−5)+(x+y−2)=0，交点直线系解得定点坐标为 (1,1)(1, 1)(1,1)．设该定点为 QQQ．
PQPQPQ 方向向量为 (3,1)(3, 1)(3,1)，lll 不能取到的直线 3x+2y−5=03x + 2y - 5 = 03x+2y−5=0 法向量为 (3,2)(3, 2)(3,2)，不平行于 (3,1)(3, 1)(3,1)，与 PQPQPQ 不垂直．因此 PQ⊥lPQ \perp lPQ⊥l 可以取到．
那么距离最大值就是 PQPQPQ 的距离，答案为 10\sqrt{10}10．
例题 2.5.2求点 P(−2,2)P(-2, 2)P(−2,2) 到直线 lll：(2+λ)x−(1+λ)y−4λ−6=0(2 + \lambda)x - (1 + \lambda)y - 4 \lambda - 6 = 0(2+λ)x−(1+λ)y−4λ−6=0 的距离的取值范围．
例题 2.5.2 解答直线 lll 方程变形为 λ(x−y−4)+2x−y−6=0\lambda(x - y - 4) + 2x - y - 6 = 0λ(x−y−4)+2x−y−6=0，交点直线系解得定点坐标为 (2,−2)(2, -2)(2,−2)．设该定点为 QQQ．
PQPQPQ 的方向向量为 (1,−1)(1, -1)(1,−1)．lll 不能取到的直线 x−y−4=0x - y - 4 = 0x−y−4=0 法向量为 (1,−1)(1, -1)(1,−1)．法向量和 PQPQPQ 方向向量平行，也即 lll 不能取到的直线与 PQPQPQ 垂直，那么最大值取不到 ∣PQ∣\lv PQ\rv∣PQ∣．
计算 ∣PQ∣=42\lv PQ\rv = 4\sqrt 2∣PQ∣=42．所以距离的值域为 [0,42)[0, 4\sqrt 2)[0,42)．
最后感受一下朴素做法——将距离表示为一个 λ\lambdaλ 为自变量的函数，求函数值域．需要用到点到直线的距离公式，会在下个页面介绍．
例题 2.5.2 朴素做法解答设 d(λ)d(\lambda)d(λ) 为所求距离，则：
d(λ)=∣−2(λ+2)−2(λ+1)−4λ−6∣(λ+2)2+(λ+1)2=∣8λ+12∣2λ2+6λ+5=4(2λ+3)22λ2+6λ+5=44λ2+12λ+92λ2+6λ+5=42−12λ2+6λ+5\begin{aligned}
d(\lambda) &= \dfrac{\lv -2(\lambda + 2) - 2(\lambda + 1) - 4\lambda - 6\rv}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + (\lambda + 1)^2}} \\[1em]
&= \dfrac{\lv 8\lambda + 12 \rv}{\sqrt{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \\[1em]
&= \dfrac{4\sqrt{(2\lambda + 3)^2}}{\sqrt{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \\[1em]
&= 4\sqrt{\dfrac{4\lambda^2 + 12\lambda + 9}{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \\[1em]
&= 4\sqrt{2 - \dfrac{1}{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}}
\end{aligned}d(λ)=(λ+2)2+(λ+1)2∣−2(λ+2)−2(λ+1)−4λ−6∣=2λ2+6λ+5∣8λ+12∣=2λ2+6λ+54(2λ+3)2=42λ2+6λ+54λ2+12λ+9=42−2λ2+6λ+51令 f(λ)=2λ2+6λ+5f(\lambda) = 2\lambda^2 + 6\lambda + 5f(λ)=2λ2+6λ+5，不难发现 f(λ)f(\lambda)f(λ) 的值域为 [12,+∞)[\dfrac 1 2, +\infty)[21,+∞)．
所以 d(λ)d(\lambda)d(λ) 的值域为 [0,42)[0, 4\sqrt 2)[0,42)．
朴素做法的计算量显然多于数形结合．